MATEMATİKTE BUNALIMLAR

Matematiğe çoğu kez, gelişimini doğru bir çizgi üzerinde sürdüren, problemlerini er geç çözüme kavuşturan istikrarlı bir bilim gözüyle bakılır. Oysa ki matematik tarihinde durum hiç de böyle değildir. Çesitli bunalımlara, görüş, yaklaşım ve yorum farklılıklarına rastlanmıştır.Bilimde olduğu gibi matematikte de kesinlik arayışı dogmatizme, dogmatizm de beklenmedik değişiklik ya da gelişmeler karşısında bunalıma yol açar. Ancak her bunalımı, tüm olumsuz görünümüne karşın, yeni bir atılım veya açılmaya giden yolda baslangıç koşulu diye niteleyebiliriz. Bu tür bunalımların hiçbiri geçici bir bocalama olmaktan ileri gitmemiş, sanıldığının aksine, matematiği ne geçersiz ne de işlemez kılan bir olay olmuştur.

Matematiğin geçirdiği bunalımlar dört ana bölümde toplanabilir:

1) Rasyonel olmayan (irrasyonel) sayıların yol açtıgı, başlangıçta "olanaksız" ya da "saçma" sayılan, negatif ve sanal sayıların ortaya çıkmasıyla süren bunalım.

2) Başlangıçta sağlam bir temele oturtulamayan ve kavramsal belirsizlik içinde kalan diferansiyel ve integral hesapların yol açtığı bunalım.

3) Euclid'in beşinci postulatına ilişkin kuşku ve doyumsuzluktan kaynaklanan, Euclid dışı geometrilerin ortaya çıkmasıyla büyüyen bunalım.

4) Kümeler teorisinde basgösteren paradoksların yarattığı, daha sonra Gödel teoremleriyle yeni bir boyut kazanan bunalım.

İrrasyonel Sayılar

Matematikte bilinen ilk bunalım antik Yunan döneminde (m.ö 5.yüzyil) ortak ölçüsüz büyüklüklerin bulunmasıyla ortaya çıkar. İki tamsayının bölümü olarak belirlenemeyen doğru parçalarının varlığı ne demekti? Örneğin kenarı bir birim olan karenin köşegeni, rasyonel bir sayı ile belirlenemeyen bu türden bir doğru parçasıdır. Evreni tamsayılarla düzenli gören Pisagor'cular için karenin kenarı ile kösegeni gibi aynı türden geometrik büyüklüklerin ortak ölçüsüz olmasi akıl almaz bir skandaldı; o yüzden ne pahasına olursa olsun gizli tutulmalıydı. Bu olayın yanısıra Zeno'nun adıyla anılan birtakım paradoksların ortaya çıkmasıyla matematikteki bunalım yoğunluk kazanır. Değişik biçimlerde dile getirilen Zeno paradokslarının ortak özelliği şöyle bir varsayıma dayanmaktadır: Sonlu bir sürede sonsuza giden sayıda devinime olanak yoktur. Belli bir mesafe geriden kalkan tavşanın önündeki kaplumbağayı, bu varsayıma göre hiçbir zaman yakalayamaması gerekir. Çünkü tavşanın aradaki mesafenin önce yarısını, ondan önce 1/4'ünü, ondan önce 1/8'ini,... ve böyle sonsuza dek bölünebilen aralıkları koşması gerekir ki, bunu sonlu bir sürede gerçeklestirmesi olanaksızdır. Matematiğin bu ilk bunalımdan çıkması kolay olmamıştır. m.ö 4. yüzyılın seçkin matematikçisi Eudoxus'un büyüklük ve orantı kuramı üzerindeki çalısması, sorunu bir ölçüde açıklığa kavuşturur. Eudoxus'un ortak ölçüsüz büyüklüklere ilişkin ulastığı sonuç, Euclid'in "Elementler"'inin besinci kitabında yer almıştır. Bu sonuç ana çizgileriyle Dedekind'in 19. yüzyılın ikinci yarısında irrasyonel sayılar üzerindeki çalısmasını andırmaktadır.İlk bunalımdan kurtuluş arayışları baslıca iki gelişmeye yol açmıstır. 1) lginin sayısal kuramlardan geometriye kayması. 2) Geometrinin aksiyomatik bir sistem olarak oluşması.

Sonsuz Küçükler Hesabı

Modern matematik başladığında, matematik geleneğinde iki düsünce saklıdır. Bunlardan biri, Antik Yunan matematiğinden kaynaklanan ispata dayalı geometri, diğeri Hint ve İslam matematiğinde ön plana çıkan sayı kavramı ve ona dayalı cebir. Bugün bildiğimiz matematiği büyük ölçüde 17. yüzyılda gerçekleşen iki önemli buluşun yol açtığı gelişmelere borçluyuz. Bunlardan ilki, Dekart'in (1596-1650) o zamana dek birbirinden tümüyle ayrı görünen matematiğin iki dalını, geometri ile cebiri birleştirme çabasının ürünüdür. Şimdi "analitik geometri" diye bilinen bu çalışmada, koordinatlar aracılığıyla eğrileri denklemlerle, dolayısıyla eğrilerin geometrik özelliklerini cebirsel formüllerle belirleme olanağı doğar. Üstelik denklemleri de grafikle dile getirmeye olanak sağlamakla analitik geometri, cebirin analize dönüşmesine, bu arada "değişken" , "fonksiyon" ve "fonksiyonel bağımlılık" gibi kavramların belirginleşmesine, bu kavramların geometrik terimlerle ifadesine yol açar. Ikinci büyük gelişme, daha sonra analiz denen çalışmaya yol açan, Newton ile Leibniz'in birbirinden bağımsız olarak oluşturdukları "sonsuz küçükler hesabı"'dir. 17. yüzyılda başlayan buluşların yol açtığı ilerlemeler giderek artan bir hızla birbirini izler. Ancak bu arada Antik dönemde tanık olduğumuz sıkı ispat ölçütlerinin çoğunlukla gözardı edildiğini görüyoruz. Matematik, mantıktan çok sezgi, imge ve deneyime bağlı bir çalışma görünümü alır. Leibniz, Bernoulli ve Euler gibi ünlü matematikçilerin sonsuz küçükler, ayrışık diziler toplamı gibi konularda, yanlışlığı bugün bilinen düsünceler ileri sürmekten geri kalmadıklarını biliyoruz. Deyim yerindeyse, "yasa tanımazlık" diyebileceğimiz bu gidiş, özellikle diferansiyel ve integral hesapların fizik ve astronomideki başarılı uygulamalarının yarattığı iyimser ve kamçılayıcı hava içinde, yaygınlık kazanır. Yeni buluş ve yöntemlerin kabına sığmaz bir coşkunlukla hemen uygulamaya konması çabaları 18. yüzyilın sonlarına değin sürer. Ama bu arada kimi üstünkörü sonuçların gün ışığına çıktığı, eleştirel bir yaklasımın giderek kendini duyurmaya basladığı görülür. İkinci bunalıma yol açan kuşku ve tedirginlikler önce diferansiyel hesapların anlam ve dayanaklarına ilişkin olarak ortaya çıkar. İlk eleştiriler Berkley, ardından Hegel gibi idealist filozoflardan gelir. Özellikle diferansiyel kesirlerle sonsuz küçükleri içeren işlemler kuşkuyla karşılanıyordu. Aslında bu işlemleri oluşturan Newton ile Leibniz'in bile temeldeki kavramlar üzerinde tam bir açıklık içinde oldukları kolayca söylenemez. Leibniz, matematik öğretisi gereği, sonsuz küçükleri varsayıyordu. Newton, fizik ve astronomi çalısmalarında duyumsadığı gereksinmeyle diferansiyel islemleri oluşturmustu. Daha çok sezgiye yer veren ve bilimsel ihtiyaçtan doğan bu yöntemin kuramsal dayanakları neydi? Daha 18. yüzyılın ilk yarısında belirsiz kalmış birtakım noktalar yanında kimi çelişkilerin de giderek su yüzüne çıkması ciddi tereddütlere yol açar. Berkley, 1737'de yayımlanan The Analyst adlı yapıtında kalkülüsü, kavramsal dayanaklarını irdeleyerek oldukça ayrıntılı bir elestiriden geçirir. Daha sonra Legendre ve Lagrange gibi kimi seçkin matematikçilerin de durumdan yakındıklarını biliyoruz. Lagrange, çeliskiler içermesine karşın matematiğin başarısını, Tanrı'nin iyilikseverliği altında hataların birbirini götürmesine bağlıyordu. Denebilir ki, matematik o sırada bir bilim olmaktan çok bir sanat görünümündeydi. Nitekim kimi eleştiriciler daha da ileri gidip, matematiği düpedüz uydurma ya da kurgusal bir beceri olarak niteler. Gerçekten o sırada kuramsal irdeleme ve temellendirmeleri gereksiz bulan çoğu matematikçilerin tutumunda, matematiğin doğasına ters düşen bir tür "oportinizm" egemendi. Öyle ki, kullanılan işlemlerin geçerliği için uygulama sonuçları yeterli ölçüt sayılıyordu. Başarılı sonuçlarla gözleri kamasan matematikçiler, ne elde edilen sonuçları mantıksal yönden temellendirme, ne de kullandıkları kavram ve yöntemlerin geçerliliğini irdeleme geregini duyuyorlardı. Daha fazla ilerlemenin coşkusu içinde yeni hedeflere koşanlardan da beklenemezdi bu zaten. Ne var ki, Berkley ile baslayan elestiriler giderek yoğunluk kazanır. 19. yüzyilin ilk yarısı matematikte hem kusku konusu islem ve sonuçları pekiştirme, hem de yeni buluşlara açılma çabasını yaşar. Nitekim bu dönemin Gauss ile Cauchy gibi büyük matematikçileri bir yandan eleştirel bir tutum izlerken, öbür yandan yeni buluslara yönelik atılımlar sergilemislerdir. Daha önce Legendre ve Lagrange'da da ilk belirtilerini gördügümüz elestirel yaklasım, Gauss'da tüm etkinliğiyle ortaya çıkar. Denebilir ki, Gauss, çalışmasının önemli bir bölümünü matematiği saglam bir temele oturtma amacına yöneltmisti. Onun, "cebirin temel teoremi" diye bilinen karmasık sayılar alanında her cebirsel denklemin bir kökü olduğu savını ispat uğraşı, bunu pekiştirme çerçevesinde önemli bir çalışmadır. Kaldı ki, o güne değin belirsiz ya da bulanık kalan "karmaşık sayılar" kavramı bile Gauss'un çalısmasında açıklık kazanır. Analizi gerçel sayılar alanindan karmasık sayılar alanına genişletme işini ise büyük ölçüde Cauchy'ye borçluyuz. Karmasık bir değişkene ait karmasık fonksiyonlar teorisini olusturan Cauchy, sonsuz küçükler gibi ne olduğu açık olmayan kavramları matematikten ayıklama çabasıyla analizde gerçek bir reforma yönelir. Limit, süreklilik gibi kavramlar ilk kez onun elinde açık ve belirgin anlamlarını kazanmıstır. Cauchy'nin limitler teorisi daa sonra Weierstrass'in çalısmasıyla birleşerek sonsuz küçükler kavramını gereksiz kılar. Bu gelişmeyle ortaya çıkan sonsuz sayılar ile süreklilik sorunlarını ise George Cantor ele alır. Sayısal sonsuzluk Zeno'dan beri tartışılan, çözüm bekleyen bir sorundu. Euclid geometrisinin aksiyomlarından biri, bütünün herhangi bir parçasından büyük olduğu savını dile getirir. Oysa bu yargının, sonsuzlar söz konusu olduğunda, doğru olmadığı görülmüştür. Cantor, sonsuz bir dizi ya da kümeyi, kardinal sayısı herhangi bir alt bölümünün kardinal sayısına denk olan küme diye tanımlar. Baska bir deyişle, sonsuz bir kümedeki elemanlar ile, o kümenin bir alt bölümüne ait elemanlar bire bir eşleştirilebilir. Örneğin, sonsuz bir küme oluşturan doğal sayıları bir satır üzerine, doğal sayılar kümesinin bir alt bölümü olan çift sayıları ikinci satır üzerine yazalım.
1, 2, 3, 4, 5, 6
2, 4, 6, 8, 10, 12
Görüyoruz ki, ilk satır üzerindeki ne denli çoğaltılırsa çoğaltılsın, ikinci satır üzerindeki sayılar da o denli çoğaltilabilir; öyle ki, ilk satırdaki ilk elemana karşılık ikinci satırda daima bir eleman olacaktır. Bu, iki dizinin eşdeğer olduğunu gösterir. Oysa, ikinci dizi, birincisinin bir alt bölümünden başka bir şey degildir. Cantor, geliştirdigi sonsuz sayılar teorisinde farklı büyüklükte sonsuz dizi ya da kümelerin oldugunu gösterir. Örneğin gerçel sayılar kümesi, doğal sayılar kümesinden daha büyük bir kümedir. Tüm ondalık kesirlerin büyüklük sırasına göre dizildigini düşünelim. Dizideki ilk kesrin birinci rakamı ile ikinci kesrin ikinci rakamını alıp her rakama bir ekleyerek yeni bir ondalık olusturalım ve bu işlemi dizi boyunca sürdürelim. Bu şekilde olusturulan ondalık, tam sandıgımız dizideki tüm ondalıklardan farklıdır. Bu, gerçel sayılar söz konusu olduğunda, sayılabilir bir dizi oluşturmanın olanaksızlığını göstermektedir. Ondalık kesirler sayısının, doğal sayılar sayısından daha yüksek derecede sonsuz olduğu demektir bu. Analiz, bugün bilinen yetkin kimliğine, büyük ölçüde, 19.yüzyılın ikinci yarısında Karl Weierstrass'in çalısmasıyla ulaşır. Cauchy'nin, bulanık "sonsuz küçükler" kuramı yerine daha açık ve net limitler kavramını getirmesiyle baslayan, Weierstrass'in analizi aritmetiklestirmesiyle, Cantor'un süreklilik ve sonsuz sayılar kavramına açıklık getirmesiyle noktalanan çalısmalar geçen yüzyılda yaşanan bunalımı önemli bir yanıyla gidermişti. "Her yanıyla" diyemiyoruz; çünkü, söz konusu bunalımın kapsamında Euclid dışı geometrilerin yol açtığı sarsıntıyı da bulmaktayız.

Euclid Dışı Geometri

İki bin yılı aşkın bir süre boyunca "biricik geometri" kimliğini koruyan Euclid geometrisinden farklı geometrilerin ortaya çıkısı kolayca sindirilebilir bir gelişme olamazdı. Nitekim, başlangıçta yarı şaşkınlıkla önemsenmeyen bu olay, yüzyılın son çeyreginde sarsıcı etkisini duyurmaya başlar. Matematikçiler'in içine düştükleri şaşkınlık, sonunda, filozofların da kolayca üstesinden gelemedikleri bir soruna dönüşmüştü. Her biri kendi içinde tutarlı birden fazla geometri ne demekti? Uzun bir geleneğin saygınlığını taşıyan, sayısız uygulama ve ölçmelerle doğrulugu kanıtlanan bir sistem kuşku konusu olabilir miydi? Olamazsa, mantıksal tutarlılık yönünden eşdeğer yetkinlikte olan degişik geometrilerin varlığı nasıl açıklanmalıydı? Kant'a göre, geometrinin konusu uzay, temel özelliklerini aklımızın yapısına borçluydu; geometrik önermeler bu nedenle zorunlu dogrulardı. Baska bir deyişle, bir tek geometriye olanak vardı, o da Euclid geometrisiydi. Oysa şimdi ne görüyoruz? "Biricik" diye bilinen bu geometriye ait önermelerden bir ya da birkaçını yadsımak, çeliskiye yol açmak şöyle dursun, kendi içinde tutarlı geometrilere olanak veriyordu. Euclid dışı geometrilerin ortaya çıkması, yüzyıllar boyunca olusan kimi önyargı ve koşullanmaları kökten sarsmaktaydı. Geometrik önermelerin apaçık ya da zorunlu sayılan doğrulukları bir yana, doğru olup olmadıkları, hatta "doğruluk" kavramının kendisi tartışma konusu olmaya baslamıştı. Öte yandan, birbiriyle bagdaşmaz geometrilerin kendi içlerinde tutarlı olmaları, "tutarlılık" kavramını ön plana çeker; bu ise, matematiğin temellerine iliskin sorunların çözüm arayışında mantığa büyük ağırlık kazandırır. Biri analizde, digeri geometride kendini açıga vuran bu iki tedirginlik, 19. yüzyılı bir bunalım dönemine dönüştürmüştü. Gerçi, 18. yüzyilda oldugu gibi bu yüzyılda da matematiksel çalısmaların hem kuramsal, hem uygulama yönünden birbirini izleyen önemli atılımlar içinde olduğu söylenebilir. Öyle ki, bu ikiyüz yıllık dönemi, matematik için büyük cografi keşifler dönemine benzetenler vardır. Denebilir ki, ilk kez bu dönemde, birtakım belirsizlik, çelişki ve üstünkörülüklerle yüklü olduğu gözlenen matematiğin, aynı zamanda, temelde bir bütün oluşturduğu bilinci uyanmıştır. Bunalımı aşma yolundaki çaba ve arayışların hemen hepsinde bu ortak bilincin etkisini bulmaktayız. Matematiğin pekiştirilmesine yönelik bu çabada "mantıksal" diyebilecegimiz bir yaklaşımdan daha söz edebiliriz. Richard Dedekind'in çalısmasında kendini gösteren bu yaklaşım, Peano, Frege ve Russell gibi mantıkçı-matematikçilerde daha belirgin bir karakter kazanır. Daha çok gerçel sayılara ilişkin teorik çalısmasıyla tanınan Dedekind, diferansiyel ve integral hesapları aritmetik bir temele oturtmaya yönelir. Mantıksal çözümlemeyi içeren bu temellendirme, Peano ile önemli bir dönüm noktasına ulasır. Mantıksal çözümlemeye verdiği tüm öneme karsın, matematiğe iliskin de olsa, mantıksal ya da felsefi sorunlar Dedekind'in ön planda tuttuğu sorunlar değildi. Bu tür sorunlar, gene bir matematikçi olan İtalyan G.Peano'da önem kazanır. Öyle ki, matematiğin temelleri giderek onun başlıca uğraş konusu olur. Peano da, Dedekind gibi, kavram ve yöntemlerle üstünkörülükten kurtulma, daha kesin ve belirgin olma çabasındaydı. Matematik'te sağduyu ile sezgiye gereğinden fazla yer verilmesi tutumuna karsıydı. Hem sayı, hem fonksiyon kavramlarına, sezgisel anlamları ötesinde, daha kesin tanımlarla daha belirgin anlatımlar verilmeliydi. Soyut matematik, sağduyu ve sezgiye dayanan gelişigüzel bir çalışma olamazdı; tersine, kendi içinde yeterli, formel ya da mantıksal bir sistem olmalıydı. Euclid'in geometride gerçeklestirdiği aksiyomatik kuruluşu, Peano aritmetikte ve giderek analize gerçeklestirmeye koyulmustu. Ancak o, Euclid sisteminde bilinen kusur ve eksikliklerden sakınma çabasındaydı. Ona göre, ne aksiyomlar zorunlu, apaçık doğrulardır; ne de ilkel terimler anlamları sezgisel ya da tanımla belirlenebilecek nesnelerdir. İlkel terimlerle onlara iliskin özellikleri dile getiren aksiyomlar bir kez saptandıktan sonra geriye, teoremleri salt mantıksal yoldan çıkarsama kalır. Peano bu amaçla sıradan dil yerine, kullanılışlığı nedeniyle hemen benimsenen, simgesel bir dil önerir. Aynı sekilde, çıkarımların önceden konmuş kesin mantıksal kurallar çerçevesinde tutulmasında ısrar eder. Böylece onun öngördüğü sistem, belli dönüştürme kurallarıyla simgesel bir dile dayanan soyut bir kuruluştur. Matematiğin temellerini yoklama ve kurmaya yönelik girişimler 1890'li yillarda Frege, Peano, Poincare, Russell, Hilbert vb. düsünürlerin çalısmalarıyla ortaya çıkar. Tartısmalar çok geçmeden, "mantıkçılık", "sezgicilik" ve "formalizm" adlarıyla bilinen üç ögreti çevresinde toplanır.

Paradokslar

paradokslar, bilinen Batı felsefesinin başlangıcına dayanır.Batı felsefesi, yani Eski Yunan felsefesinin ilk düşünürleri paradokslarla ilgilenmişlerdir.Birçok paradoks, bu düsünürlerin isimleriyle anılır. Paradoks sözcüğü Yunanca "Para : İleri" ve "Doxa : düşünce, inanış" sözcüklerinin birleşmesi sonucu oluşmustur.Bununla birlikte paradoks sözcüğünün sözlük anlamı ise şöyledir: "Görünüşte yanıltıcı olan insan, şey ya da durumdur."Yukarıda da belirtildiği gibi paradokslar bilinen batıfelsefesinin başlangıcına dayanır.Tarih içinde paradoks oldugu iddia edilen ilk örnek Yunan filozof Epimenides'in Girit'li paradoksudur.Aslında Epimenides'in paradoks olduğunu iddia ettiği önerme bir paradoks değildir.Epimenides "Bütün Giritliler yalancıdır."demişti.Epimenides paradoksu olarak bilinen yukarıdakı önerme paradoks olmasa da Epimenides mantığını geliştiren günümüz filozofları "yalan paradoksları" olarak anılan gerçek paradokslar bulmayı basarmışlardır.