Ana Sayfa | Genel Bilgiler | Bazı Matematikçiler | Paradokslar | Bunalımlar |
Önce doğru parçasının tarifini yapalım:
Dogru Parçası: Başlangıcı ve sonu olan ve sonsuz adet
noktadan oluşan doğru. Pekiyi nokta nedir?
Nokta: Kalemin kağıda bıraktığı en küçük iz veya
belirti.Malûmdur ki noktanın boyutu yoktur. O halde dikkat.
Paradoks başlıyor:
Noktanın boyutu olmadığına göre iki noktanın yan yana gelmesi bir şey ifade etmez. 100 nokta veya 1 milyar nokta da yan yana geldiğinde herhangi bir şekil olusturmaz.( Çünkü şekil oluşturması için gerekli olan boyut özelligini sağlamıyor) Bu şuna benzer ki; sıfır ile sıfırın toplamı yine sıfırdır. Milyarlarca sıfırı toplasak 'yarım' dahi etmez. O halde doğrunun tanımında bir hata var. Çünkü sonsuz adet noktanın yan yana gelmesi bir sey ifade etmez! Noktanın çok çok az da olsa boyutu olduğunu kabul etmemiz gerekir. Bu sefer de noktanın tarifi hatalı olur.
Noktayı boyutlu kabul edelim. Karşımıza bir paradoks daha çıkar; dogru parçasında sonsuz adet nokta olduğuna göre doğru parçasının da uzunluğu sonsuz olmalıdır. Çünkü çok az da olsa boyutu olan bir şeyden sonsuz adedi yanyana gelirse sonsuz uzunluk olur.
X = Y
................................................olsun
X² = X.Y............................................eşitliğin
her iki tarafını 'X' ile çarptık
X² - Y² = XY - Y²..............................her iki
taraftan 'Y²' çıkardık.
(X + Y).(X - Y) = Y.( X-Y )...............sol tarafı çarpanlara
ayırdık, sağtarafi 'Y' parantezine aldik.
( X + Y ) = Y.....................................( X - Y )'ler
sadeleşti.
X + X = X..........................................X = Y
olduğundan,
2.X = X..............................................'X' leri
topladık.
2 = 1 ................................................'X' ler
sadeleşti.
3 + 2 = 1 + 3....................................her iki tarafa
'3' ilâve ettik.
5 = 4..................................................buradan,
5 = 2 + 2.......................................'4'ü, '2+2'
şeklinde yazdık. HATA NEREDE?
Bir fincan sütümüz ve bir fincan da kahvemiz var. Bir kaşık sütten alıyoruz ve kahve fincanına döküyoruz. İyice karıştırıp oradan da bir kaşık alıyoruz ve süte döküyoruz. Şimdi sorumuz geliyor:
Kahvedeki süt mü yoksa sütteki kahve mi daha fazladır?
Cevap şasırtıcı gelebilir ama karışm oranları eşittir. İşte ispati:
Kabul edelim ki karışımımız homojen olmasın. Meselâ kahveye kattığımız süt, tamamen dibe çöksün. Kahveden aldığımız miktar tabi ki sütten aldığımıza eşit olacaktır. Veya:
İlk karışımdan sonra kaşığımızın yarısı süt, yarısı da kahve olsun. Bu sefer yine sütte yarım kaşık kahve, kahvede yarım kaşık süt bulunacaktır. Veya:
ilk karışım homojen olsun. Aldığımız bir kaşık karışımın % 90 ını kahve, % 10 unu süt kabul edelim. Sütün % 90 i kahvede kalmıştır. Sonuçta eksilen sütün yerini kahve dolduracağından karışım oranları eşit olur.
a ve b birbirinden farklı herhangi iki tamsayı ve c de bunların farkı olsun:
a-b=c
(a-b)(a-b)=c.(a-b)..............................her iki tarafi
(a-b) ile çarptık.
a²-2ab+b²=ac-bc...............................parantezleri
açtık.
a²-2ab+b²-ac=-bc.............................ac yi sol tarafa
attık.
a²-2ab-ac=-bc-b²...............................b² yi sağ
tarafa attık.
a²-ab-ac=ab-bc-b².............................2ab nin birini
sağ tarafa geçirdik.
a(a-b-c)=b(a-b-c)..............................a ve b parantezine
aldık.
a=b....................................................(a-b-c)
ler sadeleşti. (2+2=5 Paradoksunun benzeri)
İki çocuk ayrı ayrı kalem satmaktadırlar. Her ikisinin de 30'ar tane kalemi vardır. Biri, 3 kalemi 10 TL'ye; diğeri de 2 kalemi 10 TL'ye vermektedir. Ilki 30 kalemden 100 TL, diğeri de 150 TL kazanır. ( Toplam 250 TL.) Ertesi gün yine 30'ar kalemle evlerinden çıkarlar. Yolda karşılastıklarında biri diğerine der ki:
-"Gel seninle ortak olalım. 60 (30+30) kalemin 5 (2+3) tanesini 20 (10+10)TL'ye satalım. Kazandığımız parayı da paylaşırız. Basit bir hesapla 60 kalemden 240 TL kazanırlar. Yani:
5 Kalem...............20 TL ise
60 Kalem..............x TL'dir. Buradan;
x=(60.20)/5= 240 TL
Çocuklar, ayrı ayrı satış yaptıklarında toplam 250 TL kazanıyorlardı. Beraber sattıklarında neden 10 TL zarar ettiler?
1 kg = 1 ton ¿?
1 kg = 1000 gr.............(1)
2 kg = 2000 gr.............(2)
(1) ve (2) çarpılırsa:
2 kg = 2.000.000 gr
2 kg = 2.000 kg.............(2.000.000 gr = 2.000 kg)
2 kg = 2 ton..................(2.000 kg = 2 ton). Dolayısı ile,
1 kg = 1 ton
Carl Hempel'e göre "Bütün kuzgunlar siyahtır!"
Bu önermeyi iki sekilde ispatlayabiliriz:
a) Çok sayıda kuzgun görüp, hepsinin de
siyah olduğunu tesbit ederek,
b) Siyah olmayan şeylerin, aynı zamanda kuzgun da olmadıgını
görerek.
Bilinen şu ki çok sayıda siyah kuzgun ve yine çok sayıda siyah olmayan, aynı zamanda kuzgun da olmayan cisim vardir. Siyah olmayan tüm cisimler incelenmeden bu fikre varamayız. Kırmızı cisimler için bu uygulama yapılmamışsa "bazı kuzgunlar kırmızı " da olabilir. Bu sebeplerden Hempel paradoksu, "Tümevarım" in itibarını sarsmıştır.
Euplides, hiçbir zaman bir "kum yığını" olusturulamayacağını iddia etmiştir. Çünkü bir kum tanesi, "yığın" değildir. Yanına bir tane daha koyarsak yine yığın olusmaz. "Kum yığını" olmayan bir seyin yanına (veya üzerine) kum tanesi koymakla yığın elde edemeyecegimize göre Hiçbir zaman "kum yığın" olusturamayız.
Daha açık bir deyişle: Kabul edelim ki birer birer kum tanelerini biraraya getirelim. Hangi merhaleden sonra kumlar "yığın" olusturur? Diyelim ki 'bir milyon' adet kum tanesi, bir yığın olustursun. Dokuzyüz doksandokuzbin dokuzyüz doksandokuzu "kum yığını" kabul edilmeyecek mi? Edersek "1" eksigi de yığın olmaz mı? Yani hangi asama bizim için "yığın" anlamına gelir?
Klasik paradokslardan biri daha:
Bir berber, bulunduğu köydeki erkeklerden,
yalnızca kendi kendini traş edemeyen erkekleri traş ediyor.
Berberi kim traş edecek?
Kendi kendine traş olsa; kendisini traş edebildiği için
tanıma ters düşecek. Baskası traş etse; o kişi kendi
kendine de traş olabiliyor demektir. (bkz Russel Paradoksu)
1970 yılında 98 yasında ölen Bertrand RUSSEL'in çok bilinen paradoksu:
"Bir odada papa ve ben varım. Odada kaç
kişiyiz?" Cevap:
"Bir kisiyiz. Çünkü ben, aynı zamanda papayım"
Russel'in "Kümeler" Paradoksu:
Russel'a göre iki çesit küme var:
a) Kendisinin elemanı olan(ihtiva eden)
kümeler.
b) Kendisinin elemanı olmayan kümeler.
Simdi, "Kendisinin elemanı olmayan kümeler"in kümesine 'X' diyelim. X, kendisinin elemanı mıdır?
İlginç Sayılar | Matematiksel Fıkralar | Matematik karikatürleri |